｢ 猫 」を引越しに際して連れて行くことに関しては殆どの国で問題になることはありません。
「 犬 」に関して特筆すべきはイギリスの場合です。
イギリスに犬を連れて行くと空港内（および隣接）の動物検疫所で理由の如何を問わず向こう 6ヶ月（半年） もの間隔離されます。 これはイギリスが特に防疫に気を遣っているためです。
日本からの場合のみならずヨーロッパ大陸側の国（たとえば目と鼻の先のフランス）から犬を連れて行っても 同様に「 6ヶ月 」もの間隔離されます。
言うまでもないことですが、その間の係留のための費用（食料費を含む）が半端ではありません。
○ アメリカ、ドイツなどは健康状態が確認できれば係留、隔離はなく原則 「 即日 」引き取ることができます。
各国の通関事情その他の情報が網羅されていますので出発前の準備に大変役立ちます。